自然数と実数の全単射の存在を証明しました。数学史に名が残りますか？ 自然数と有理数の全単射が存在するので、有理数と実数の全単射の存在が証明できれば、自然数と実数の全単射の存在が証明できる。 Ⅰ：自然数と有理数を一対一に対応させる。 1/1,2/1,3/1,4/1,5/1… 1/2,3/2,5/2,7/2… 1/3,2/3,4/3… 1/4… ・ ・ ・ 1→1/1 2→1/2 3→2/1 4→3/1 5→3/2 6→1/3 7→1/4 8→2/3 9→5/2 10→4/1 11→5/1 12→7/2 13→4/3 ・ ・ ・ Ⅱ：分母が1の有理数の集合{1/1,2/1,3/1…}と実数の部分集合{a,b,c…}、重複を除く分母が2の有理数の集合{1/2,3/2,5/2…}と{a,b,c…}に存在しない実数の部分集合{d,e,f…}、以降同様に{1/3,2/3,4/3…}と{a,d,b,e,c,f…}に存在しない実数の部分集合{g,h,i…}、{1/4,3/4,5/4…}と{a,d,g,b,e,h,c,f,i…}に存在しない実数の部分集合{j,k,l…}…というように対応させることで有理数と実数の全単射が得られる。実数の存在し得るすべての部分集合に対応する有理数の部分集合が存在する。 1→1/1→a＊2→1/2→d＊6→1/3→g… 3→2/1→b＊5→3/2→e＊8→2/3→h… 4→3/1→c＊9→5/2→f＊13→4/3→i… ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ↓ {1,3,4…}→{1/1,2/1,3/1…}→{a,b,c…} {2,5,9…}→{1/2,3/2,5/2…}→{d,e,f…} {6,8,13…}→{1/3,2/3,4/3…}→{g,h,i…} ・ ・ ・ Ⅲ：Ⅱから有理数を取り除けば自然数と実数の全単射が得られる。 {1,3,4…}→{a,b,c…} {2,5,9…}→{d,e,f…} {6,8,13…}→{g,h,i…} ・ ・ ・ ちなみに実数同士の全単射は {a,b,c…}→{a,b,c…} {d,e,f…}→{d,e,f…} {g,h,i…}→{g,h,i…} ・ ・ ・ となる。実数は無限集合が無限に存在する形になっている。有理数は容易に同じ形にでき、有理数と対応させることで自然数を同じ形にできる。これにより自然数と実数の一対一対応が可能になる。 とここまで書いて、アルパカマン氏の指摘により、というか気づけたはずのことだが、この表に存在するすべての実数{a,d,b,c,e,g,j,h,f…}に存在しない実数の部分集合{a´,b´,c´…}が存在する。で、ここからは第二ラウンド。 Ⅳ：{a,b,c…}と対応している{1,3,4…}の要素と有理数を一対一に対応させる。 1→1/1 3→1/2 4→2/1 ・ ・ ・ Ⅴ：第一ラウンドにおいては、分母が1の有理数と対応している{1,3,4…}の要素の集合と{a,b,c…}を対応させる。第二ラウンドでは、分母が2の有理数と対応している{1,3,4…}の要素の集合と実数の部分集合{a´,b´,c´…}を対応させ、以降は第一ラウンドと同じ。第二ラウンドにおいては、実数の存在し得るすべての部分集合に対応する{1,3,4…}の部分集合が存在する。 第一ラウンド {1,＊,＊…}→{a,b,c…} {2,5,9…}→{d,e,f…} {6,8,13…}→{g,h,i…} ・ ・ ・ 第二ラウンド {3,＊,＊…}→{a´,b´,c´…} {＊,＊,＊…}→{d´,e´,f´…} {＊,＊,＊…}→{g´,h´,i´…} ・ ・ ・ {＊,＊,＊…}→{a",b",c"…} {＊,＊,＊…}→{d",e",f"…} {＊,＊,＊…}→{g",h",i"…} ・ ・ ・ ・ ・ ・ ({a",b",c"…}は{a,a´,d,d´,b,b´,c,c´,e,e´,g,g´,j,j´,h,h´,f,f´…}に存在しない実数の部分集合) {a,b,c…}と対応している{1,＊,＊…}の1以降の各要素は、第二ラウンドの表が作られる毎に大きくなるが、{1,＊,＊…}と{a,b,c…}の全単射は維持される。 実数は無限集合×無限(第一ラウンド)×無限(第二ラウンド)の形になっている。自然数を同じ形にすることで自然数と実数の一対一対応が可能になる。実数は増えるわけではなく「小出しにしかできない」、自然数は「小出しにできる」。実数のすべての部分集合と対応する部分集合が自然数に内包されており、したがって自然数と実数の一対一対応は完了している。